Es una obviedad decir que los matemáticos y matemáticas de todo el mundo también comemos pizza, pero no lo es tanto mencionar que en ocasiones somos capaces de relacionar las pizzas con las matemáticas, más allá de la simple referencia a las fracciones.
Una primera relación trivial es que como las pizzas son circulares y conocemos cuál es el área de un círculo –exactamente π r2, si el radio de la pizza es r–, aunque para esto no hace falta ser matemático, podemos saber cuánto dinero nos cuesta cada unidad de área, por ejemplo, cada cm2, de pizza, dependiendo de las características y precio de la misma. Y por lo tanto, es posible que nos animemos a discutir de sencillas cuestiones como si sale más rentable comprar una pizza grande o dos medianas.
Pero esta cuestión de matemática cotidiana no es el objetivo de esta anotación en el Cuaderno, sino que estamos interesados en una cuestión relacionada con el reparto de los trozos de una pizza entre dos comensales. Me explico.
Imaginemos dos personas que han pedido una pizza, por ejemplo, mediana. Cuando les entreguen la pizza, esta estará cortada en ocho trozos y en condiciones ideales, es decir, que los cuatro cortes pasen por el centro y estén igualmente espaciados, lo que significa que están formando un ángulo de 45º entre cada dos de ellos, estos serán completamente iguales (como en la imagen). En tal caso, será fácil repartir la pizza, cada comensal simplemente tendrá que coger cuatro trozos cualesquiera, puesto que cada trozo tiene la misma superficie que el resto.
Pero lo normal es que esos cortes realizados en la pizzería no sean tan perfectos. Supongamos que aún así siguen una cierta regularidad, que los cuatro cortes pasen por un punto común, aunque no sea el centro del círculo que forma la pizza, y que estén igualmente espaciados, es decir, formando un ángulo de 45º entre cada dos de los cortes consecutivos (un ejemplo de esta situación de muestra en la siguiente imagen).
La cuestión ahora es si es posible repartir la pizza, sin realizar más cortes, de forma que cada una de las dos personas reciba la misma cantidad de la misma. Mirando a la imagen de la pizza cortada de esta forma no da la impresión de que sea posible repartir los trozos de manera equitativa, sin embargo, el conocido como Teorema de la pizza nos dice que sí es posible y además cómo hacerlo.
Teorema de la pizza: Si una pizza es dividida en ocho trozos, obtenidos mediante cuatro cortes que pasan por un punto común y forman un ángulo de 45º entres ellos, entonces la suma de las áreas de los trozos alternos son iguales (grises y blancos en la imagen anterior).
Esta cuestión fue originalmente propuesta por el matemático L. J. Upton enMathematics Magazine, problema 660, en 1967 [1], y resuelta por Michael Goldberg también en Mathematics Magazine [2]. Este resultado no es matemáticamente complicado, y puede ser entendido por cualquier estudiante de matemáticas.
Larry Carter y Stan Wagon realizaron una demostración visual por medio de disecciones [3] que fue recogida en el libro Proofs without Words II, de Roger B. Nelsen [4] (véase la anotación Pitágoras sin palabras para un breve comentario sobre las demostraciones visuales
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