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Matemáticas

La ley de los pequeños números

Actualidad Informática. La ley de los pequeños números. Rafael Barzanallana. UMU
La ley de los pequeños números, entonces, se puede definir así:

[L]os resultados extremos (altos y bajos) son más probables en muestras pequeñas que en muestras grandes.

De ahí la importancia de que cualquier muestra sea estadísticamente relevante y representativa.

Inferir una relación a partir de una pequeña muestra (que perfectamente puede ser azarosa) puede costarle muy caro a alguien, como explica Kahneman al final del capítulo, cuando explica un divertido artículo de Howard Wainer y Harris Zwerling:

Su ensayo se centraba en el caso de una gran inversión, de 1.700 millones de dólares, que la Fundación Gates hizo para seguir indagando en las características de los colegios que ofrecen mejor educación. Muchos investigadores han buscado el secreto del éxito en la educación identificando los mejores colegios con la esperanza de descubrir lo que los distingue de los demás. Una de las conclusiones del estudio era que la mayoría de estos colegios son, de promedio, pequeños. En un estudio de 1.662 colegios de Pensilvania, por ejemplo, 6 de los 50 mejores eran pequeños, lo que supone una sobrerrepresentación en factor de 4. Estos datos animaron a la Fundación Gates a hacer sustanciales inversiones en la creación de pequeños colegios, en ocasiones dividiendo colegios grandes en unidades más pequeñas. Al menos la mitad de una docena de otras instituciones destacadas, como la Fundación Annenberg y la Pew Charitable Trust, se unieron al esfuerzo, al igual que el programa de pequeñas comunidades educativas del Departamento de Educación de Estados Unidos.

Esto seguramente tendrá para muchos su sentido intuitivo. Es fácil construir una historia causal que explique por qué los colegios pequeños son capaces de proporcionar una educación mejor y formar colegiales de alto rendimiento, dándoles más atención personal y estímulo del que recibirían en los colegios grandes. Desafortunadamente, el análisis causal es inútil porque los hechos son falsos. Si los estadísticos que informaron a la Fundación Gates se hubieran preguntado por las características de los peores colegios, habrían encontrado que los malos colegios también tienden a ser más pequeños que la media. La verdad es que los colegios pequeños no son mejores por término medio; son simplemente más variables. Los colegios grandes, dicen Wainer y Zwerling, tienden a arrojar mejores resultados, especialmente en los grados superiores, donde se da una notable variedad de opciones curriculares.

Kahneman saca dos conclusiones pertinentes:

• Prestamos más atención al contenido de los mensajes que a la información sobre su fiabilidad, y como resultado terminamos adoptando una visión más simple del mundo (y que hallamos más coherente), de lo que justifican los datos.

• La estadística arroja muchas observaciones que parecen pedir explicaciones causales, pero que ellas mismas no nos guían hacia tales explicaciones.

Fuente: DE AVANZADA

Criba de Eratóstenes animada

La criba de Eratóstenes es el método más antiguo para obtener una lista de los números primos: consiste básicamente en ir tachando primero los múltiplos de 2, luego de 3, luego de 5, etcétera empezando en cada ronda con el primer número que queda sin tachar (que se considera primo) y siguiendo  con todos sus múltiplos.

Este vídeo muestra visualmente cómo actúa el algoritmo con un color para cada número: las diferentes curvas van tocando la recta de los números enteros en puntos que son los diferentes múltiplos. Los valores que sobreviven a la criba son los números primos.

Aquí el código fuente.

(Vía The Math Less Traveled.)

Fuente: microsiervos

Demostrada la conjetura débil de Goldbach

Actualidad Informática. Demostrada la conjetura débil de Goldbach. Rafael Barzanallana. UMU

Esta semana las matemáticas han sido noticia porque se ha resuelto un problema propuesto hace más de 270 años. Un problema sencillo de enunciar, pero muy difícil de demostrar.

¿Qué problema se ha resuelto?

En 1742, el matemático Christian Goldbach le preguntó por carta a su amigo y famoso matemático Leonhard Euler si podía demostrar dos resultados muy sencillos sobre números. Por un lado, lo que hoy en día llamamos la conjetura de Goldbach, o conjetura fuerte de Goldbach, que dice que todo número par mayor que 2 se puede escribir como suma de dos números primos. Por ejemplo, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 16 = 3 + 13, etc. Y por otro lado, una variante de este problema que hoy en día llamamos la conjetura débil de Goldbach, que afirma que  todo todo número impar mayor que 5 puede escribir como suma de tres números primos. Por ejemplo, 7 = 2 + 2 + 3, 9 = 3 + 3 + 3, 11 = 3 + 3 + 5, 35 = 19 + 13 + 3, o 77 = 53 + 13 + 11, etc. El matemático peruano Harald Andrés Helfgott ha publicado un trabajo en el que afirma haber demostrado la conjetura débil de Goldbach (o conjetura ternaria de Goldbach). Por supuesto, en estas noticias de matemáticas tenemos que ser cautos. La demostración ocupa 133 páginas y se basa en un trabajo previo de más de 100 páginas. La confirmación “oficial” todavía podría tardar un tiempo, pero varios expertos, como el famoso Terence Tao, que recibió la medalla Fields en el año 2006 en Madrid, afirman que la nueva demostración tiene muy buena pinta y casi seguro que es correcta.

¿Para qué se han utilizado ordenadores en su demostración matemática?

El trabajo de Hardy, Littlewood y Vinográdov demostró que la conjetura débil de Goldbach era cierta para todos los números impares suficientemente grandes. La cuestión clave es entender qué significa ”suficientemente grande.” El ruso Borodzin demostró en 1939 que bastaba tomar números más grandes que 3 elevado a 3 elevado a 15, es decir, 3 elevado a 14 348 907, un número que tiene más de seis millones de dígitos. Verificar la conjetura para números más pequeños es imposible porque es un número muy grande. Este número se ha ido reduciendo poco a poco y en 1989, dos chinos llamados Wang y Chen redujeron esta cota a 3,33 por 10 elevado a 43000, y otros dos chinos llamados Liu y Wang a sólo 2 por 10 elevado a 1346 (el número e elevado a 3100). Aún así, un número con 1346 cifras es demasiado grande. Lo que ha logrado el matemático peruano afincado en Francia, Harald Helfgott, ha sido reducir esta cota mínima a sólo 10 elevado a 30. Esto ha permitido comprobar por ordenador la conjetura para todos los números más pequeños, trabajo en el que ha colaborado con David Platt.

Artículo completo en:  Francis (th)E mule Science’s News

El problema del viajante

Actualidad Informática. El problema del viajante. Rafael Barzanallana. UMU

El problema del viajante consiste en encontrar el camino más corto que permite visitar una serie de ciudades conectadas por carreteras volviendo al punto de partida y visitando cada ciudad una sola vez. No hay ningún algoritmo eficiente para resolver este problema (que es NP-duro) . En 1950 los ordenadores permitían resolver un problema con 50 ciudades, en 1980 con unas 2300 ciudades y en 2006 se alcanzó el récord actual, 85900 ciudades (en la figura aparecen 13509 ciudades de EEUU). Los informáticos han tratado de descubrir algoritmos eficientes que aproximen la solución del problema. En 1976, Nicos Christofides (Imperial College, Londres) desarrolló un algoritmo eficiente que produce caminos cuyo coste excede al óptimo en menos del 50%. ¿Se puede mejorar? En 2011, se logró mejorar el algoritmo de Christofides con un nuevo algoritmo eficiente que excede del óptimo en menos del 49,99999999999999999999999999999999999999999999999996 por ciento. ¿Por qué ha costado tanto obtener una ventaja tan pequeña? Nadie lo sabe, pero resulta muy sugerente. Nos lo cuenta Erica Klarreich, “Computer Scientists Take Road Less Traveled. After decades without progress, new shortcuts are discovered in the traveling salesman problem,” Simons Foundation, Jan 29, 2013.

Fuente:  Francis (th)E mule Science’s News

Sorteo Extraordinario de Navidad: las matemáticas no han fallado

Actualidad Informática. Sorteo Extraordinario de Navidad: las matemáticas no han fallado. Rafael Barzanallana. UMU

Srobe el Sorteo Extraordinario de Navidad de la lotería. Ya está muy estudiado el enfoque matemático probabilístico, Sin embargo un hecho cuando menos curioso, y que a primera vista puede parecer muy improbable, acaeció durante el sorteo y es que dos quintos premios salieron de forma consecutiva en una misma tabla. Más concretamente en cómo dieron los presentadores de Noticias Cuatro esta misma noticia.

Aproximadamente a los 20 minutos de emisión de la edición de tarde del informativo de Cuatro de 22 de diciembre de 2012  comienzan a hablar del reciente sorteo de navidad y atentos a lo que sueltan:

Y… las matemáticas no han funcionado aquí. Dos quintos premios salieron consecutivamente uno detrás de otro el 49257 y el 55448. Salieron uno detrás del otro. Nunca había pasado. Y un tercer quinto salió 3 minutos después de esta maravillosa coincidencia.

Noticias Cuatro

¿Cómo que las matemáticas no han funcionado? ¿Quiere decir esto, entonces, que las matemáticas han fallado aquí? ¿Acaso es esto posible? ¿Pueden incluso acertar las matemáticas? La opinión de los autores es que las matemáticas ni aciertan ni fallan.

Los que suelen fallar son los que, a veces, hablan de las matemáticas sin saber, siendo unos completos hombres anuméricos.

En un artículo aparecido en Naukas  calculan la probabilidad de que un hecho tan ¿insólito? ocurra. Más aún, demuestran que lo verdaderamente sorprendente es que no hubiese ocurrido antes. Y lo  hacer usando eso que falla tanto… sí, ¿cómo se llamaban? ¡Ah, claro!: MATEMÁTICAS (y si tienes un poquito de pegamento… pues mejor).

Artículo:  Sorteo Extraordinario de Navidad: las matemáticas no han fallado

¡No a las matemáticas en la escuela pública! EE.UU.

Parodia de un vídeo real donde preguntaron a unas misses norteamericanas si se debía enseñar la evolución en las escuelas.

Cuando las personas se preocupan acerca de las matemáticas, el cerebro siente dolor

Actualidad Informática. Cuando las personas se preocupan acerca de las matemáticas, el cerebro siente dolor. Rafael Barzanallana. UMU

Las matemáticas pueden provocar una respuesta en el cerebro similar a cuando una persona experimenta dolor físico, según una nueva investigación de la Universidad de Chicago (EE.UU.).

Mediante escáneres cerebrales, los investigadores determinaron qué áreas del cerebro se activan cuando personas  muy ansiosas frente  las matemáticas se preparan para hacer operaciones matemáticas, son las mismas áreas del cerebro que registran la amenaza de daño corporal y, en algunos casos, el dolor físico.

«Para alguien que tiene miedo a las matemáticas, la expectativa de usar matemáticas provoca una reacción cerebral similar a cuando experimenta dolor -por ejemplo, quemando la mano por una estufa caliente», dijo Sian Beilock, profesor de psicología en la Universidad de Chicago y líder de experto en ansiedad ante las matemáticas.

Sorprendentemente, los investigadores encontraron que era la previsión de tener que hacer matemáticas, y en realidad no hacer matemáticas en sí, lo que se veía como el dolor en el cerebro. «La activación del cerebro no se produce durante la ejecución de las matemáticas, lo que sugiere que no es la propia matemática que duele, sino la anticipación de las matemáticas es dolorosa», agregó Ian Lyons,  PhD graduado en psicología de Universidad de  Chicago y un investigador postdoctoral en la Universidad de Western en Ontario, Canadá.

El informe de dos de sus hallazgos se muestra en un artículo: «Math Anxiety Predicts Pain Network Activation in Anticipation of Doing Math«, en el último número de PLoS ONE.

Para el estudio, los investigadores trabajaron con 14 adultos que mostraron tener miedo a las matemáticas en base en sus respuestas a una serie de preguntas acerca de las matemáticas. Las preguntas calibran la propia ansiedad al recibir un libro de texto de matemáticas, caminando a clase de matemáticas o de la realización de los requisitos de matemáticas para la graduación. Pruebas adicionales demostraron que estas personas no eran excesivamente ansiosas en general, sino que su elevada ansiedad era específica para situaciones relacionadas con las matemáticas.

Los voluntarios del estudio  ensayaron con una máquina fMRI, que permitió a los investigadores examinar la actividad cerebral. Los voluntarios recibieron ecuaciones matemáticas para verificar – por ejemplo, la validez de la ecuación siguiente: (12 x 4) – 19 = 29. Mientras que en el escáner de fMRI, los sujetos se muestran también los rompecabezas de palabras cortas. Para estos rompecabezas, la gente vio una serie de letras (por ejemplo: yrestym) y tuvo que determinar si invertir el orden de las letras produce una palabra escrita correctamente inglés.

Los escaneos fMRI mostraron que la anticipación de las matemáticas causó una respuesta en el cerebro similar al dolor físico. Cuanto mayor sea la ansiedad de una persona acerca de las matemáticas, más se activa  un pliegue de tejido situado en el interior del cerebro, justo encima de la oreja que está asociado con el registro de amenazas directas para el cuerpo, así como la experiencia de dolor. Curiosamente, los niveles de ansiedad de matemáticas no se asociaron con la actividad cerebral en la ínsula o en cualquier otra región neural cuando los voluntarios estaban haciendo matemáticas.

El trabajo de Lyon y Beilock sugiere que, para los que tienen miedo a las matemáticas, una dolorosa sensación de temor puede comenzar mucho antes de que una persona se presente a un examen de matemáticas. Investigaciones anteriores han demostrado que los individuos altamente ansiosos por las matemáticas  tienden a evitar situaciones relacionadas con las matemáticas e incluso relacionadas con las matemáticas en sus trayectorias profesionales. El trabajo actual sugiere que tal evitación deriva en parte de la ansiedad dolorosa.

El trabajo actual es también consistente con otra investigación de Beilock y Lyon, en el que se demostró que la mera anticipación de  matemáticas provoca cambios en los cerebros de personas con altos niveles de ansiedad ante las matemáticas. El trabajo de Beilock, apoyado por la Fundación Nacional de la Ciencia y el Departamento de Educación, también ha demostrado que la ansiedad matemática puede comenzar tan pronto como el primer grado, y que las mujeres maestras de primaria a menudo transmiten su ansiedad ante las matemáticas a sus alumnas.

Estos últimos puntos de estudio en el valor de ver la ansiedad matemática no sólo como un indicador de la capacidad matemática pobres, sino como una indicación de que puede haber una reacción real, psicológica negativa a la posibilidad de hacer las matemáticas. Esta reacción necesita ser tratada como cualquier otra fobia, dijeron los investigadores. En lugar de simplemente apilando  la tarea de matemáticas para los estudiantes que están preocupados por las matemáticas, los estudiantes necesitan ayuda activa para sentirse más cómodo con el tema, afirmó Beilock. Su trabajo ha puesto de manifiesto, por ejemplo, que la escritura  antes de un examen de matemáticas pueden reducir las preocupaciones y dar lugar a un mejor rendimiento.

Fuente: EurekAlert!

Estocásticamente ortogonal

Cuando Alan Sokal engañó a la revista  Social Text  al publicar una parodia sin sentido de crítica al postmodernismo, se pensó en el fracaso de la revista para detectar que el artículo era un engaño manifiesto, una lamentable falta de rigor intelectual. John Sturrock, escribe sobre ello en LRB, señalando que Social Text existe en un reino diferente del discurso de la naturaleza y que la contribución de Sokal, con todos sus defectos, era una gran provocación extrema, y como Sokal sabía, el tipo de cosas que Social Text promueve.

El mes pasado la revista That’s Mathematics! reportó otro hito en la historia de la edición académica. Un documento de Marcie Rathke, de la Universidad del Sur de Dakota del Norte en Hoople (EE.UU.) había sido provisionalmente aceptado para su publicación en Advances in Pure Mathematics. ‘Independent, Negative, Canonically Turing Arrows of Equations and Problems in Applied Formal PDE

Ahora, por desgracia, no podemos asumir que
Actualidad Informática. Estocásticamente ortogonal. Rafael Barzanallana. UMU
Es difícil, por no especialistas, juzgar el peso de  «por desgracia». Afortunadamente, el resumen es un modelo de concisión:

Sea ro = A. ¿Es posible extender isomorfismos? Se demuestra que D’ es estocásticamente ortogonal y trivialmente afín. En [10], el principal resultado fue la construcción de p-Cardano, compactamente Erdos, funciones de Weyl. Esto podría arrojar luz sobre una conjetura de Conway-d’Alembert.

¿Desconcertado? Usted debe estarlo. Cada una de estas frases contiene los nombres de matemáticos ligadas por  términos  que usan los matemáticos , pero las sentencias apenas conectan entre sí. El documento fue creado usando Mathgen, un generador aleatorio en línea de artículos de matemáticas. Mathgen tiene un conjunto de reglas que definen cómo los documentos se organizan en secciones y qué tipo de sentencias constituyen una sección y cómo esas oraciones se componen de diferentes categorías de palabras técnicas y no técnicas. Crea documentos de un formato atractivo con la estructura convencional, lo completa con ecuaciones y citas pero, por desgracia, carece por completo de sentido. Eldredge Nate – el blogger detrás de eso That’s Mathematics! – Escribió Mathgen adaptando SCIGEN, que hace algo similar para la informática. Documentos generados por SCIGEN han sido aceptados para su publicación en conferencias académicas y revistas que pretenden llevar a cabo la revisión por pares.

Eldredge reimprime la carta de aceptación de Advances in Pure Mathematics, incluyendo los comentarios del revisor anónimo, quien trató de encontrar maneras en que podría mejorarse el documento antes de su publicación. El resultado es otro tipo de tonterías:

Para el resumen, considero que el autor no introduce la idea principal y trabajo sobre este tema en particular. No podemos captar la idea principal de este resumen. Así que sugiero que el autor  reorganice las descripciones y añada las palabras clave de este trabajo.

Ni Marcie Rathke ni la Universidad del Sur de Dakota del Norte en Hoople estaban dispuestos a pagar el procesamiento de cargos económicos percibidos por Advances in Pure Mathematics, por lo que nunca sabremos si el trabajo en realidad habría sido publicado. Las publicaciones en revistas académicas dependen de la revisión por pares para garantizar el rigor y el valor de los envíos. A menor prestigio de la revista, es más difícil encontrar revisores competentes y bajan el umbral, hasta que en algún momento se llega a, esencialmente, aceptar todo lo llegado para  publicación . El más oscuro del modelo de negocio y la reducción de las cualidades fuera de la corriente principal, más difícil es para los académicos para desafiar el status de las revistas de prestigio, el bloqueo de los académicos en la situación Glen Newey describe.

Fuente: LRB blog

Vídeo de “Los números que no se pueden calcular (Homenaje a Turing)”

Alan (Mathison) Turing nació el 23 de junio de 1912 en Londres (hace 100 años) y murió el 7 de junio de 1954, como Blancanieves, tras comer una manzana envenenada. No se suicidó, le asesinó la madrastra, la sociedad puritana británica que le persiguió por ser homosexual, un delito penal en 1954. El 10 de septiembre de 2009 el primer ministro del Reino Unido, Gordon Brown, emitió un comunicado declarando sus disculpas en nombre del gobierno por el trato que recibió Alan Turing durante sus últimos años de vida.

Artículo completo en:  Francis (th)E mule Science’s News

Hacia la computación con gotas de agua, lógica de gotas superhidrófobas

Actualidad Informática. Hacia la computación con gotas de agua, lógica de gotas superhidrófobas. Rafael Barzanallana. UMUInvestigadores de Aalto University han desarrollado un nuevo concepto de computación, utilizando las gotas de agua en forma de bit de información digital. Esto fue posible por el descubrimiento de que la colisión de gotas sobre una superficie  altamente repelente al agua, dos gotas de agua rebotan como las bolas de billar.

En el trabajo, publicado en la revista Advanced Materials, los investigadores determinaron experimentalmente las condiciones para recuperarse de las gotas de agua en movimiento sobre superficies superhidrófobas. En el estudio  se utilizó  una superficie de cobre recubierta de plata y químicamente modificada con un compuesto fluorado. Este método permite que la superficie al ser tan repelente al agua, las gotas de agua salen de la superficie cuando se inclina ligeramente. Pistas superhidrófobas, desarrollados durante un estudio previo, se utilizaron para guiar las gotas a lo largo de las rutas diseñadas.

Con el uso de las pistas, los investigadores demostraron que las gotas de agua podrían convertirse en tecnología, la «lógica de gotas superhidrófobas». Por ejemplo, un dispositivo de memoria fue construido donde las gotas de agua actúan como bits de información digital. Por otra parte, se demostró que los dispositivos sirven para operaciones elementales de lógica de Boole. Estos dispositivos son simples bloques de construcción para la computación. Video: http://youtu.be/GTnVwyWaVQw (lógica de gotas superhidrófobas: flip-flop de memoria)

Además, cuando las gotitas de agua se cargan con carga química reactiva, el inicio de una reacción química puede ser controlada por colisiones de gotitas. La combinación de las reacciones químicas controladas por colisión con las operaciones lógicas de gotitas, potencialmente permite reacciones químicas programables donde las gotas individuales sirven al mismo tiempo como reactores en miniatura y  bits de computación. Video: http://youtu.be/ygMdQ9NUbok (reacción química controlada por colisiones de gotas)

– Es fascinante observar un fenómeno físico nuevo para tales objetos cotidianos – gotas de agua, dice Robin Ras, un investigador de la Academia en el grupo de investigación de Materiales Moleculares.

– Me sorprendió que tales colisiones de rebote entre dos gotitas nunca se estudiaran antes, ya que en realidad es un fenómeno fácilmente accesible: llevé a cabo algunos de los experimentos iniciales en las hojas de plantas repelentes al agua del jardín de mi madre, explica un miembro del grupo de investigación , Henrikki Mertaniemi, que descubrió las colisiones de las gotas rebotan hace dos años durante un proyecto estudiantil de verano en el grupo de investigación de Ras y el profesor de la Academia Olli Ikkala.

Los investigadores prevén que con  los resultados actuales  la tecnología basada en la lógica de gotas superhidrófobas. Las aplicaciones posibles incluyen dispositivos lógicos simples  autónomos  que no requieren electricidad y dispositivos programables de análisis bioquímicos.

Otros vídeos relacionados, en YouTube

Mertaniemi H., Forchheimer R., Ikkala O., and Ras R.H.A., Rebounding droplet-droplet collisions on superhydrophobic surfaces: from the phenomenon to droplet logic, Advanced Materials (2012). http://dx.doi.org/10.1002/adma.201202980

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